PDF-версии: 
Найдите все значения a, при которых система
имеет ровно один или два корня.
Решение. Разберем два случая.
1) 
Тогда первое уравнение примет вид:
6 + x - x2 = (y - 1)2 + x - 7,
x2 + (y - 1)2 = 13.
Это уравнение окружности с центром в точке (0;1) и радиусом 
Точнее, учитывая дополнительное условие, это уравнение двух дуг этой окружности — верхней от точки (-2;4) до точки (3;3) и нижней от точки (-2;-2) до точки (3;-1). Второе уравнение системы задает прямую, параллельную 3y = 2x, при увеличении a прямая смещается вверх.
Выясним сначала, при каком a прямая 3y = 2x + a касается окружности. Для этого нужно, чтобы уравнение (3y - a)2 + 4(y - 1)2 = 52 имело единственный корень. Это будет, если дискриминант уравнения 13y2 - (6a + 8)y + a2 - 48 = 0 будет равен нулю, то есть при
(3a + 4)2 = 13(a2 - 48)
4a2 - 24a - 640 = 0
a2 - 6a - 160 = 0
a = 16, a = -10
Выясним теперь , при каких значениях a прямые проходят через концы дуг.
3y = 2x + 16 — через (-2;4),
3y = 2x + 3 — через (3;3),
3y = 2x - 2 — через (-2;-2),
3y = 2x - 9 — через (3;-1),
поэтому при 
есть одно решение, при 
и при 
решений нет. Учитывая найденные касательные, находим также, что при 
будет два решения, при a = -10 — одно решение, при a < -10 решений нет.
2) 
(-2;3). Тогда первое уравнение примет вид:
x2 - x - 6 = (y - 1)2 + x - 7,
(x - 1)2 = (y - 1)2,
откуда x = y или x + y - 2 = 0, y = 2 - x
В первом случае из второго уравнения x = y = a, во втором 
Поэтому при 
16 второй случай дает 2 корня,
при 
[3;16) — один корень,
при 
— нет корней
при 
— один корень,
при 
— два корня.
Совмещая полученные ответы, находим, что один или два корня будут при a < 10 , при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |