Решите неравенство $логарифм по основанию x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию x 4.$

Решение. Область определения неравенства задается условиями $x в квадрате плюс 2x минус 3 \geqslant0,x больше 0,x не равно 1,$ откуда получаем $x больше 1.$ На этом множестве $логарифм по основанию x 4 больше 0$ и данное неравенство равносильно неравенству

$дробь: числитель: логарифм по основанию x левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию x 4 конец дроби умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1,$

которое, в свою очередь, равносильно неравенству

$логарифм по основанию 4 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 3 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x минус 2 правая круглая скобка \geqslant1.$

Положив $t= корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 3 конец аргумента ,$ где $t \geqslant0,$ получаем неравенство $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка \geqslant1.$ Заметим, что при $t больше или равно 0$ функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 5 левая круглая скобка t в квадрате плюс 1 правая круглая скобка$ возрастает (произведение двух положительных возрастающих функций) и $f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =1.$ Таким образом, множеством решений этого неравенства является луч $t больше или равно 2.$

Далее имеем:

$система выражений корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x минус 3 конец аргумента \geqslant2,x больше 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 2x минус 7 больше или равно 0,x больше 1 конец системы . равносильно x больше или равно 2 корень из 2 минус 1.$

Ответ: $левая квадратная скобка 2 корень из 2 минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая квадратная скобка 2 корень из 2 минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

513685

$левая квадратная скобка 2 корень из 2 минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: Пробный ЕГЭ по профильной математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Вариант 1

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Использование косвенных методов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов