Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение на отрезке [−1; 2].
Решение. Пусть 
Рассмотрим уравнение 
Число x = 0 не является корнем этого уравнения ни при каком значении параметра а. Поэтому это уравнение равносильно уравнению
Рассмотрим функцию
и для уравнения 
определим число корней и их расположение для каждого значения параметра а.
Найдём производную
Отсюда следует, что на промежутках 
функция убывает, а на промежутке 
— возрастает. Следовательно, точка x = 1 — точка минимума, а минимум равен 7.
Заметим, что
Из полученных свойств функции 
следует, что при любом значении a данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень, и поскольку 
то при 
уравнение имеет ровно один корень на отрезке 
при 
уравнение не имеет корней на 
При a = 7 уравнение имеет единственный корень x = 1 на отрезке
Поскольку 
то при 
на отрезке 
уравнение имеет ровно два корня. При a > 10 уравнение также имеет единственный корень на отрезке
Решим два неравенства и уравнение:
Получим:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра, не определены. ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра, не найдены. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |