РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 513260 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов;

2.2.2 Рациональные неравенства.

Неравенства. Логарифмические неравенства первой и второй степени

Решите неравенство $левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка \geqslant0.$

Решение. Определим область допустимых значений: $x плюс 4,2 больше 0 равносильно x больше минус 4,2.$

Произведём замену: $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка =t,$ получим неравенство $левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка \geqslant0,$ откуда t ≤ −2 или t ≥ 3. Соответственно

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка \leqslant минус 2$ или $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка \geqslant3.$

Решим полученные неравенства:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 0,25, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x плюс 4,2\leqslant0,25,x плюс 4,2\geqslant8 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений минус 4,2 меньше x\leqslant минус 3,95,x\geqslant3,8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x принадлежит левая круглая скобка минус 4,2; минус 3,95 правая квадратная скобка ,x принадлежит левая квадратная скобка 3,8; плюс бесконечность правая круглая скобка . конец совокупности .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 0,25, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 4,2 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 8 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 0 меньше x плюс 4,2\leqslant0,25,x плюс 4,2\geqslant8 конец совокупности . равносильно совокупность выражений минус 4,2 меньше x\leqslant минус 3,95,x\geqslant3,8 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x принадлежит левая круглая скобка минус 4,2; минус 3,95 правая квадратная скобка ,x принадлежит левая квадратная скобка 3,8; плюс бесконечность правая круглая скобка . конец совокупности .$

Ответ: x ∈ (−4,2; −3,95] ∪ [3,8; +∞).

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2