РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 513257 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 12x плюс 36 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Заменим $x в квадрате минус 12x плюс 36= левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате ,$ получим $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате \leqslant0.$ Определим область допустимых значений:

$система выражений x минус 6 не равно 0,x минус 3 больше 0,x минус 3 не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x не равно 6,x больше 3,x не равно 4. конец системы .$

Решаем с помощью метода декомпозиции, то есть представляем логарифм в виде

$логарифм по основанию левая круглая скобка a левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка arrow левая круглая скобка a левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка ,$

получим неравенство:

$левая круглая скобка x минус 3 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 плюс 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка \leqslant0,$ $левая круглая скобка x минус 3 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 плюс 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка \leqslant0,$ $левая круглая скобка x минус 3 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 плюс 1 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка \leqslant0,$

Расставим точки на числовой прямой и определим знаки данного выражения на каждом из промежутков:

Учитывая область допустимых значений, получим ответ: $левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 5; 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 7 правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 5; 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 7 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

513257

$левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 5; 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 7 правая квадратная скобка .$

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	513257	$левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 5; 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; 7 правая квадратная скобка .$