PDF-версии: 
В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит её на отрезки, равные 5 и 3. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Решение. Пусть это параллелограмм ABCD, а точки касания со сторонами AB, BC, CD, DA обозначены за E, F, G, H соответственно.
а) Из описанности ABCD следует, что AB + CD = AD + BC, то есть 2AB = 2AD, значит, все стороны параллелограмма равны и это ромб.
б) Будем считать, что AE = 3, EB = 5. Центром окружности будет точка пересечения диагоналей ромба O, а радиус этой окружности — высота прямоугольного треугольника 
Тогда по теореме Пифагора находим 
Значит, 
Поскольку точки E и F делят стороны AB и BC в одинаковом отношении 3 : 5, треугольники BEF и BAC подобны с коэффициентом 
и 
Рассматривая аналогично остальные стороны EFGH, получаем, что это параллелограмм и даже прямоугольник (так как 
). Значит, его площадь равна:
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |