PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства 
содержит ровно четыре целых значения x.
Решение. Решим задачу графически. Выражения, стоящие под знаком модулей, обращаются в нуль при
и при 
Прямые, задаваемые уравнениями и 
разбивают плоскость хОа на четыре области. Раскроем модули, на каждой из этих областей и построим на этих областях график неравенства (см. ниже).
Графиком неравенства является множество точек, лежащих внутри области с границей АВ1С1А1BCA, включая границу. Для каждого конкретного значения параметра a = a0 решение неравенства представляет собой множество точек x, лежащих на прямой a = a0 и находящихся внутри построенной области.
Поскольку неравенство должно иметь ровно 4 целых решения, искомыми значениями параметра являются те, для которых соответствующие отрезки горизонтальных прямых содержат ровно 4 целочисленные точки (выделены на рисунке красным), то есть все прямые для 
или 
Осталось показать, как построить график неравенства 
Раскрывая модули, получаем четыре области.
Область (1):
Область (2):
Область (3):
Область (4):
На области (1) решение неравенства представляет собой часть круга с центром в точке (1; 1) и радиусом 
ограниченную прямыми 
Заметим, что окружность ω1, являющаяся границей круга, пересекает ось абсцисс в точках 
и 
Найдем координаты точек пересечения данной окружности с указанными прямыми. Для прямой имеем:
Искомые точки: и 
Аналогично для прямой 
находим:
Искомые точки: и 
На области (2) решение неравенства представляет собой часть круга с центром в точке (0; 2) и радиусом 
ограниченную прямыми Заметим, что окружность ω2, являющаяся границей круга, пересекает ось абсцисс в точке 
Найдем координаты точек пересечения данной окружности с указанными прямыми. Для прямой имеем:
Искомые точки: и
Аналогично для прямой находим:
Искомые точки: и 
Области (3) и (4) можно рассмотреть аналогично. Но можно заметить, что если точка 
является решением неравенства, то и точка 
является его решением:
Это означает, что множество решений неравенства симметрично относительно начала координат. Тем самым, достаточно построить часть графика неравенства, лежащую выше прямой то есть на областях (1) и (2), а затем отразить её относительно начала координат. Так нами и было сделано.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |