РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс 5x плюс y в квадрате минус y минус |x минус 5y плюс 5|=52,y минус 2=a левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка . конец системы .$

имеет ровно два решения.

Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1)  Если $x минус 5y плюс 5\geqslant0,$ то получаем уравнение

$x в квадрате плюс 5x плюс y в квадрате минус y минус x плюс 5y минус 5=52 равносильно x в квадрате плюс 4x плюс y в квадрате плюс 4y минус 57=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =65.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_1 левая круглая скобка минус 2; минус 2 правая круглая скобка$ и радиусом $корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

2)  Если $x минус 5y плюс 5\leqslant0,$ то получаем уравнение

$x в квадрате плюс 5x плюс y в квадрате минус y плюс x минус 5y плюс 5=52 равносильно x в квадрате плюс 6x плюс y в квадрате минус 6y минус 47=0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 3 правая круглая скобка в квадрате =65.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_2 левая круглая скобка минус 3;3 правая круглая скобка$ и радиусом $корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$

Полученные окружности пересекаются в двух точках $A левая круглая скобка минус 10; минус 1 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 5;2 правая круглая скобка ,$ лежащих на прямой $x минус 5y плюс 5=0,$ поэтому в первом случае получаем дугу $\omega_1$ с концами в точках A и B, во втором  — дугу $\omega_2$ с концами в тех же точках (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку B и угловой коэффициент которой равен a.

При $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a= минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби$ прямая m перпендикулярна прямой O₁B, угловой коэффициент которой равен $дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби ,$ значит, прямая m касается дуги $\omega_1$ в точке B и пересекает дугу $\omega_2$ в двух точках (одна из которых  — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При a  =  8 прямая m перпендикулярна прямой O₂B, угловой коэффициент которой равен $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,$ значит, прямая m касается дуги $\omega_2$ в точке B и пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках (одна из которых  — точка B), то есть исходная система имеет два решения.

При $a меньше минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби$ или $a больше 8$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке B и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.

При $минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ прямая m пересекает дугу $\omega_2$ в двух точках (одна из которых  — точка B) и не пересекает дугу $\omega_1$ в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.

При $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше 8$ прямая m пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках (одна из которых  — точка B) и не пересекает дугу $\omega_2$ в точках, отличных от точки B, то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет ровно два решения при $минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a\leqslant8.$

Ответ: $минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a\leqslant8.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но в ответ включены также и одно-два неверных значения.	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра.	2
Задача верно сведена к исследованию совокупности трёх квадратных уравнений относительно a.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	513110	$минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно a\leqslant8.$

Ключ