PDF-версии: 
Четыре натуральных числа a, b, c, d таковы, что
а) Могут ли все числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?
в) Найдите все возможные наборы чисел (без учета их порядка в наборе), среди которых ровно два числа равны.
Решение. а) Да, например 
б) Да, например 
в) Если все четыре числа больше четырех, то сумма обратных к ним меньше четырех четвертых, то есть меньше 1. Если все числа не меньше четырех, то равенство возможно лишь для 
но в этом случае равны все числа, а не ровно два из них. Наконец, ни одно из чисел не равно единице. Следовательно, среди чисел непременно есть 2 или 3. Будем считать, что 
Умножим обе части равенства на abc, получим: 
В силу симметрии а и b достаточно рассмотреть случай, когда 2 или 3 равно либо a, либо c. Рассмотрим эти варианты.
1. Пусть 
тогда 
то есть 
откуда 
Это дает варианты 
(не подходит, поскольку три числа равны 6), 
2. Пусть 
тогда 
то есть 
откуда 
Это дает варианты 
(не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел); 
3. Пусть 
тогда 
откуда 
что невозможно.
4. Пусть 
тогда 
а значит, 
откуда получаем, что 
Отсюда имеем: 
(не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел).
Из найденных наборов в ответ необходимо включить те, которые соответствуют различным наборам чисел, без учета их прядка в наборах. Это 
Ответ: а) да; б) да, в)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |