РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 512875 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Группировка, Перебор случаев, Перебор случаев

Задача с параметром. Уравнения с параметром, содержащие модуль

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$|x в квадрате минус 2ax плюс 7|=|6a минус x в квадрате минус 2x минус 1|$

имеет более двух корней.

Решение. Преобразуем исходное уравнение:

$левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax плюс 7 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 6a минус x в квадрате минус 2x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$

$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax плюс 7 минус 6a плюс x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2ax плюс 7 плюс 6a минус x в квадрате минус 2x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка x плюс 4 минус 3a правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =0.$

Последнее уравнение имеет более двух корней или если a  =  −1, или если уравнение $x в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка x плюс 4 минус 3a=0$ имеет два различных корня, отличных от 3:

$система выражений левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка 4 минус 3a правая круглая скобка больше 0,3 в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка умножить на 3 плюс 4 минус 3a не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате плюс 10a минус 15 больше 0,16 минус 6a не равно 0, конец системы$

откуда $a меньше минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента меньше a меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби$ или $a больше дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Исходное уравнение имеет более двух различных корней при $a меньше минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,$ при a  =  −1, при $минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента меньше a меньше дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби$ и при $a больше дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка ; минус 1; левая круглая скобка минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Обоснованно получены все значения: $a= минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,a= минус 1,a= минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$ Ответ отличается от верного только включением точек $a= минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ и/или $a= минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$	3
Обоснованно получено одно, два или три из значений $a= минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,a= минус 1,a= минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$ или $a= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$	2
Задача верно сведена к исследованию —  графиков функций, заданных выражениями, стоящими в левой и правой части равенства; —  квадратных уравнений, полученных после раскрытия модулей	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

512875

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка ; минус 1; левая круглая скобка минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: ЕГЭ — 2014. Основная волна

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Группировка, Перебор случаев, Перебор случаев

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512875	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 минус 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента правая круглая скобка ; минус 1; левая круглая скобка минус 5 плюс 2 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$