PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Решение. Преобразуем первое уравнение: 
График первого уравнения — пара парабол, симметричных относительно оси абсцисс. График второго уравнения — прямая, проходящая через точку (10; 4). У этих графиков три общих точки, если
а) прямая проходит через общую точку двух параболы;
б) прямая касается одной из двух парабол.
В случае а) подставим точки (0; 0) и (4; 0) в уравнение прямой и получим два значения для параметра а:
В случае б) уравнение 
или 
имеет одно решение, то есть у полученных после преобразования квадратных уравнений дискриминант равен нулю:
Решая уравнения, получаем четыре значения для а: 
Из условия следует, что 
Остаются три значения.
Ответ: 
Приведём другое решение:
Преобразуем первое уравнение системы.
Решим второе уравнение системы относительно y. При a ≠ 0
При таких у первое уравнение системы примет вид:
Заметим, что при любом значении a \ne 0 каждому значению x в соответствии с равенством 
будет соответствовать единственное значение y. Следовательно, мы вправе переформулировать задачу так: найдите все значения а, за исключением 0, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три решения.
Уравнение (*) равносильно совокупности двух уравнений:
Найдем дискриминант уравнений (1) и (2), обозначив их D1 и D2 соответственно.
Найдем условие совпадения корней уравнений (1) и (2). Пусть x0 — корень как уравнения (1), так и уравнения (2). Тогда верно равенство:
При 
уравнение (1) примет вид:
Таким образом, совпадение корней уравнений (1) и (2) возможно лишь при 
и 
Для того чтобы уравнение (*) имело ровно три решения необходимо:
1) 
или
2) 
или
3) 
Но при этом один и только один из корней уравнения (1) совпадет с одним из корней уравнения (2). Каждый из перечисленных случаев рассмотрим отдельно.
1)
У последнего уравнения единственный подходящий корень, и это: a = −32.
Пересечением полученных результатов является a = −32, что отлично от 
и 
2)
Полученные значения параметра а также отличны от и
3) Найдем множество значений а, при которых будут выполнены оба неравенства D1 > 0 и D2 > 0.
Таковыми будут промежутки: 
и 
Докажем, что числа и 
принадлежат промежутку 
В данной ситуации нам достаточно доказать:
и 
Действительно:
(неравенство очевидное).
(неравенство также очевидное).
Найдем корни уравнений (1) и (2) при 
и 
и убедимся, что эти значения параметра — искомые.
Если 
то:
Если 
то:
Итак, при всех значениях 
кроме 
и 
уравнения (1) и (2), следовательно, и исходная система уравнений имеет ровно четыре решения, что нас не устраивает; при значениях же и 
— ровно три решения.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |