РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 512661 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 140

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $синус x левая круглая скобка 4 синус x минус 1 правая круглая скобка =2 плюс корень из 3 косинус x.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите его корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$синус x левая круглая скобка 4 синус x минус 1 правая круглая скобка =2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x равносильно 4 синус в квадрате x минус синус x минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x минус 2=0 равносильно$

$равносильно 2 синус в квадрате x минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно 1 минус косинус 2x минус левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус x плюс синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$ $равносильно 2 синус в квадрате x минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби косинус x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби синус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$
$равносильно 1 минус косинус 2x минус левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби косинус x плюс синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби синус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$

$равносильно косинус 2x плюс косинус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно 2 косинус дробь: числитель: 2x плюс x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: 2x минус x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби =0 равносильно$

$равносильно косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 , новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$ $равносильно косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 , новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$ $равносильно косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 , новая строка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка =0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби Пи n,n принадлежит Z , новая строка x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Отбор корней произведем с помощью единичной окружности.

$x_1= минус 3 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$

$x_2= минус 3 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби = минус дробь: числитель: 53 Пи , знаменатель: 18 конец дроби ;$

$x_3= минус дробь: числитель: 53 Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 18 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , n принадлежит Z ,k принадлежит Z$

б)   $дробь: числитель: минус 19 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , минус дробь: числитель: 53 Пи , знаменатель: 18 конец дроби , минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 18 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

512661

а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , n принадлежит Z ,k принадлежит Z$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 140

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Введение вспомогательного угла, Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512661	а) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи n, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , n принадлежит Z ,k принадлежит Z$