PDF-версии: 
В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция с острым углом 45°. Боковые грани PABи PCD перпендикулярны основанию пирамиды.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что BC = 6, АD = 12, а объем пирамиды равен 27.
Решение. а) Докажем существование указанной пирамиды. Построим последовательно.
1. Продолжение боковых стороны трапеции ABCD до пересечения в точке H. (Рис. 1).
2. Восстановим перпендикуляр HP к плоскости (AHD).
3. Отрезки: PC, PD, PA, PB.
4. Плоскости: (PCD), (PAD), (PAB), (PBC).
Пирамида построена. Теперь докажем, что грани PAB и PCD перпендикулярны к плоскости ABC.
Из перпендикулярности PH и (AHD) следует: PH ⊥ DH. Плоскости (AHD) и (PHD) образуют двугранный угол с ребром DH. Так как плоскость (PHD) содержит прямую PH, которая перпендикулярна (AHD), то и (PHD) ⊥ (AHD) по признаку перпендикулярности двух плоскостей. Аналогично можно доказать, что (PHA) ⊥ (AHD).
PH является ребром двугранного угла, образованного полуплоскостями PHD и PHA. PH ⊥ DH, PH ⊥ AH, значит, ∠AHD — линейный угол этого двугранного угла.
В ΔAHD ∠ADH = ∠DAH = 45°, следовательно, ∠AHD = 90°, откуда: (PHD) ⊥ (PHA). Но (PHD) = (PCD), (PHA) = (PAB), значит, плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) BC || AD ⇒ ΔAHD ~ ΔBHC при этом коэффициент подобия 
Пусть K — середина AD. Проведем отрезок KH, который пересечет BC, скажем, в точке M.
Пусть в трапеции ABCD (см. рис. 2) C1, B1 — проекции точек С и В на AD соответственно. Тогда: MK — ось симметрии ABCD, C1B1 = 6, DC1 = AB1 = (AD − C1B1) : 2 = (12 − 6) = 3. Прямоугольные треугольники CC1D и AB1B, имеющие по одному острому углу 45°, равнобедренны, это значит, что CC1 = BB1 = MK = HM = 3, KH = 6. Далее:
В ΔPHK, в котором ∠PHK = 90°,
В ΔPHM:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |