PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
Решение. Преобразуем заданную систему так:
Пусть x ≥ 0, y ≥ 0 (первая четверть координатной плоскости). Тогда первое уравнение последней системы примет вид:
Если аналогичным образом «пройдем» по остальным координатным четвертям плоскости, то обнаружим, что первое уравнение заданной системы задает ромб, у которого точка пересечения диагоналей совпадет с началом координат, сами диагонали длиной 6 и 8 лежат на осях координат (см. рис.).
Также заметим, что второе уравнение исходной системы задает семейство парабол с вершиной в точке (0; a), а ветви которых направлены вверх.
Наша дальнейшая задача заключается в том, чтобы подобрать такие значения параметра а, при которых парабола 
пересекла бы ромб ровно в четырех точках.
Возможны следующие случаи:
1) При a = −9
То есть парабола пересечет ромб в точке (3; 0) или (−3; 0). Однако, значение a = −9 не подходит, поскольку точек пересечения всего две (на рис. это — график функции h(x)).
2) При a = −4: −4 = 02 + a, парабола пройдет через точку (0; −4). Кроме того, парабола пересечет ромб еще в 4 точках (на рис. это — график функции q(x)).
3) При a ∈ (−9; −4) парабола пересекает ромб ровно в четырех точках, как и требуется условием задачи.
4) При 
парабола коснется прямой 
(или прямой 
так как для
Аналогично для 
Такая ситуация будет в третьей и четвертой четвертях. Кроме того, парабола пересечет ромб еще в 2 точках (первая и вторая четверти), на рис. это — график функции f(x).
Других подходящих значений параметра а не будет.
Итак, исходная система будет иметь ровно 4 различных решения при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |