PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Решение. Преобразуем заданную систему.
Последняя система представима как совокупность двух смешанных систем:
и 
Далее рассмотрим случаи, когда :
1)
2) каждая из систем (*) , (**) имеет (не имеет) два одинаковых решения;
3) 
4) системы (*) и (**) имеют по два различных решения.
1) При 
исходная система примет вид:
и имеет ровно одно решение. Отсюда: 0 — искомое значение параметра.
2) Ясно, что уравнение 
ни при каких значениях а двух одинаковых корней не имеет, тогда как найдется значение а, при котором уравнение 
имеет два одинаковых корня при 
т. е. при 
Если 
то система (*) несовместна, так как равенство 
ни при каких значениях x не выполнимо. При том же значении а система (**) будет иметь ровно одно решение (то есть два совпадающих решения): 
Следовательно, значение 
относится к числу искомых.
3) При 
имеем:
Если 
то 
Если же 
то 
При 
система (*):
Из полученных корней подойдет только один: 
При том же значении а система (**) примет вид:
Из числа полученных корней подходит корень 
Таким образом, при исходная система искомым значением параметра не является.
При 
система (*):
Из числа полученных корней подходит только 
При том же значении а система (**) имеет вид:
не подходит. Также не подойдет 
Докажем последнее неравенство.
(неравенство очевидное).
Итак, при исходная система имеет ровно одно решение, т. е. число 
относится к числу искомых значений параметра.
Итак, в дальнейших исследованиях значения параметра а, равные 
нас интересовать не будут.
4) Теперь потребуем, чтобы каждая из систем (*) и (**) имела ровно два корня, один из которых меньше 2, а другой — больше 2 и найдем значения а, соответствующие этим ситуациям.
Рассмотрим в этом ключе функции: 
8 и 
Для того, чтобы один из корней квадратного трехчлена 
имеющего два различных действительных корня, был больше числа 2, а другой — меньше числа 2, необходимо и достаточно выполнение неравенства 
где a — старший коэффициент квадратного трехчлена.
Решим неравенства:
Исходя из только что полученного, а также с учетом ранее полученных результатов будем иметь: искомые значения параметра а есть элементы множества 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |