PDF-версии: 
Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 4.
а) Постройте сечение призмы, проходящее через середины ребер BC, CC1, A1C1.
б) Найдите площадь сечения.
Решение. а) Пусть M — середина ребра BC, N — ребра CC1, O1 — ребра A1C1.
Поместим призму в декартову систему координат, как показано на рисунке 1.
Выпишем координаты некоторых точек: O(0; 0; 0), 
N(0; 2; 2), O1(0; 0; 4); A(0; −2; 0); A1(0; −2; 4); 
Будем искать уравнение секущей плоскости в виде ax+by+cz+d = 0. Пусть d = 4, тогда:
Отсюда ясно: c = −1; 2b − 2 + 4 = 0; b = −1; 
Итак, искомое уравнение имеет вид: 
или 
Найдем уравнение прямой A1B1. Оно при z = 4 будет иметь вид:
Если пересечение секущей плоскости и прямой A1B1 обозначить Q (эта же точка будет служить одной из вершин искомого сечения) то координаты этой точки найдутся как решение системы уравнений:
Таким образом, 
Проекцию точки Q на нижнее основание призмы обозначим Q1, 
Теперь найдем уравнение прямой AB. Оно будет иметь вид: 
Если точку пересечения секущей плоскости и прямой AB обозначить R, то решение системы
и будет координатами точки R (она же последняя неизвестная вершина искомого сечения).
Таким образом, 
Соединим точки M и N, N и O1, O1 и Q, Q и R, R и M отрезками. Пятиугольник MNO1QR — искомое сечение. (Доказательство не требуется).
б) Нормальный вектор секущей плоскости имеет вид: 
а нижнего основания призмы: 
Пусть угол между сечением и нижним основанием призмы будет φ, тогда:
Найдем площадь проекции секущей плоскости на нижнее основание призмы. Искомой проекцией будет пятиугольник Q1OCMR. (рисунок 2).
Докажем, что OQ1 ⊥ AB, RM ⊥ AB.
В Δ AQ1O
по гипотенузе, равной 2, и острому углу 60°. Следовательно,
Ответ: б) 
Приведём другое решение:
а) Пусть M — середина ребра BC, N — ребра CC1, O1 — ребра A1C1 (рисунок 1)
Построение:
1) Проведем отрезки MN, NO1;
2) Продолжим отрезки AC и O1N до их пересечения в точке K.
3) Проведем прямую KM до пересечения с AB в точке R.
4) Продолжим отрезки MN и B1C1 до их пересечения в точке L.
5) Проведем прямую LO1 до пересечения с A1B1 в точке Q.
6) Соединим отрезком точки Q и R.
Пятиугольник MNO1QR — искомое сечение. (Доказательство не требуется).
б) Рассмотрим треугольники O1C1N и MCN. Они оба равнобедренные и прямоугольные, равны по двум катетам. Очевидно, что 
так как они прямоугольные, у них: 
как вертикальные, C1N = CN по условию, откуда: 
Треугольник MCK — равнобедренный, значит,
(они вертикальные). Тогда
Пусть Q1 — проекция точки Q на нижнее основание призмы, O — проекция точки O1 на то же основание призмы. Тогда O1Q || OQ1. Но O1Q || RM как линии, получаемые при пересечении параллельных плоскостей (оснований призмы) секущей плоскостью. Значит, OQ1 || RM, иначе говоря, OQ1 ⊥ AB.
В прямоугольном Δ BRM катет BR, лежащий против ∠RMB = 30°, равен половине гипотенузы BM = 2, то есть BR = 1. Аналогично получим: AQ1 = 1. Q1R = 4 − 2 = 2.
AB ⊥ RM, отсюда по теореме о трех перпендикулярах: QR ⊥ RM, ∠QRQ1 — угол между нижним основанием призмы и секущей плоскостью. Обозначим его φ.
Найдем площадь проекции секущей плоскости на нижнее основание призмы. Искомой проекцией будет пятиугольник Q1OCMR. (рисунок 2).
Треугольник AQ1O равен треугольнику BRM по гипотенузе, равной 2, и острому углу 60°. Следовательно,
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
б)