Ре­ше­ние. а)  Ясно, что число 35! крат­но 9. Тогда по при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9 по­лу­ча­ем, что сумма его цифр, рав­ная де­лит­ся на 9. За­ме­тим, что по­это­му звез­доч­кой может быть за­ме­не­на толь­ко ше­стер­ка ( --- крат­но 9).

б)  До­ка­жем, что число 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} де­лит­ся на 133 при любом на­ту­раль­ном n. При­ме­ним метод ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции. Пусть Тогда

11^{n + 2} + 12^{2n + 1}=1331+1728=3059, а Пусть те­перь наше утвер­жде­ние верно для Тогда при по­лу­ча­ем: В по­след­ней сумме пер­вое сла­га­е­мое де­лит­ся на 133 по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции, а вто­рое, оче­вид­но, тоже крат­но 133. По­это­му утвер­жде­ние пол­но­стью до­ка­за­но.

в)  Раз­ло­жим 133 на про­стые мно­жи­те­ли: Най­дем все числа, мень­шие 133, не вза­им­но про­стые с чис­лом 133. Это все числа, мень­шие 133, крат­ные 7, либо 19. Чисел, крат­ных 7 будет ровно 19-1=18 штук. Чисел, крат­ных 19, будет ровно 7-1=6 штук. При­чем ясно, что все эти 18+6=24 числа раз­лич­ны. Зна­чит, на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 133 и вза­им­но про­стых с 133 будет ровно 132-24=108 штук.

Ответ: а) 6, б) да, в) 108.