PDF-версии: 
а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.
б) Дан тетраэдр ABCDс прямыми плоскими углами при вершине 
Площади граней BCD, ACD и ABD равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.
Решение. а) Пусть задан тетраэдр ABCD (рисунок 1)
1. Рассмотрим грани ABC и ABD. Пусть M — точка пересечения медиан Δ ABC, N — треугольника ABD. И пусть K — середина AB. Точки C, D, M, N, K лежат в одной плоскости, коли они принадлежат двум пересекающимся прямым KC и KD. Поскольку KC : KM = KD : KN = 3 : 1, треугольники MKN и CKD гомотетичны с коэффициентом гомотетии (подобия) k = 3. По основному свойству гомотетии будем иметь: CD || MN, CD = 3MN.
Соединим отрезками точки: M и D, N и С. Точку пересечения MD с NC обозначим О.
Аналогично можно доказать, что через точку О пройдут все остальные медианы заданного тетраэдра.
2. Теперь докажем, что через точку О пройдут и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра (рисунок 2).
Пусть L — середина ребра BC. В плоскости DKC через точку D проведем прямую, параллельную KC. Проведем также прямую KL, которая пересечет только что проведенную прямую в точке, которую обозначим P.
Пусть O1 точка пересечения DM и KL.
Рассмотрим Δ KLC и Δ PLD. У них: ∠KLC = ∠PLD как вертикальные, ∠KCL = ∠ PDL как внутренние накрест лежащие при KC || PD и секущей DC, CL = DL. Тогда Δ KLC = Δ PLD — по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: KC = PD, KL = PL, ∠CKL = ∠BPL.
В Δ KO1M и Δ PO1D ∠KO1M = ∠ PO1D как вертикальные, ∠MKO1 = ∠DPO1 по ранее доказанному. Значит, 
откуда DO1 : O1M = PD : KM. Но как доказано выше, KC = PD. Следовательно, O1D : O1M = KC : KM = 3 : 1.
Итак, O1D : O1M = 3 : 1. Выше было доказано, что OD : OM = 3 : 1. Так как отрезок DM можно разделить в отношении 3 : 1, считая от точки D, единственным образом, то точки О и O1 совпадут, то есть KL проходит через точку О. Совершенно аналогично можно доказать то, что отрезки, соединяющие середины ребер BC и AD, BD и AC, пройдут через точку О. И это — все то, что требовалось доказать.
б) Введем обозначения длин ребер тетраэдра: пусть BD = a, CD = c, AD = b.
В соответствии с условием задачи:
Ответ: б) 1540.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |