Ре­ше­ние. А)  Пусть пря­мая PM пе­ре­се­ка­ет BC в точке D,  — про­ек­ция точки M на AD,  — точка пе­ре­се­че­ния РО и AM, F  — се­ре­ди­на AB. По­ме­стим Δ APD в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат как по­ка­за­но на рис. 2. И пусть AD  =  9m, PO  =  3h. Тогда AO  =  6m, OD  =  3m, ME  =  h.

Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты точек А и M: A(−6m; 0), M(2m; h). Урав­не­ние пря­мой AM имеет вид:

т. е.

Абс­цис­са точки K за­ве­до­мо из­вест­на, она равна нулю. Най­дем ее ор­ди­на­ту. Сле­до­ва­тель­но,

Тогда что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Б)  Плос­кость (PAD) делит за­дан­ную пи­ра­ми­ду на две рав­но­ве­ли­кие пи­ра­ми­ды (рис. 1). Т. е.

Далее имеем:

За­ме­тим, что MABD также яв­ля­ет­ся пи­ра­ми­дой с ос­но­ва­ни­ем ABD и вы­со­той ME. Тогда:

Итак,

Ответ: Б)