PDF-версии: 
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 AB = 2, AA1 = 3.
а) Докажите, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AC1 и BE.
Решение. Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Будем иметь в виду, что правильный шестиугольник, что лежит в основании призмы, отрезками AD,BE, FC, которые пересекаются в точке О, разбивается на 6 правильных треугольников, высоты которых равны 
(использована известная формула 
в нашем случае a = 2).
В соответствии со сказанным укажем координаты нужных точек: 
а) Найдем:
Итак, 
А это значит, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.
б) Найдем координаты вектора 
перпендикулярного как к вектору 
так и к вектору 
Пусть его координаты будут равны 
Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю,
Итак, 
Заменим этот вектор ему коллинеарным, поделив полученные координаты на 
Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору 
и проходящей через точку любую точку прямой AC1. Искомое уравнение будет иметь вид: 
где a, b, c — соответствующие координаты вектора 
— координаты любой точки прямой AC1. Пусть такой точкой будет А. Тогда:
Расстояние ρ между скрещивающимися прямыми AC1 и BE найдем как расстояние между любой точкой прямой BE до найденной плоскости. В качестве такой точки выберем B.
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |