РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 511890 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117

Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $3\log _2 левая круглая скобка синус 3x правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка синус 3x минус косинус 3x правая круглая скобка .$

А)  Решите уравнение.

Б)  Найдите его корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка 0,5;4,5 правая квадратная скобка .$

Решение. А)  Найдем ограничения на x.

$синус 3x больше 0 равносильно 2 Пи n меньше 3x меньше Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи плюс 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ $синус 3x больше 0 равносильно 2 Пи n меньше 3x меньше Пи плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи плюс 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$

Для таких x:

$3\log _2 левая круглая скобка синус 3x правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка синус 3x минус косинус 3x правая круглая скобка равносильно \log _2 левая круглая скобка синус 3x правая круглая скобка в кубе =\log _2 левая круглая скобка синус 3x минус косинус 3x правая круглая скобка равносильно$ $3\log _2 левая круглая скобка синус 3x правая круглая скобка =\log _2 левая круглая скобка синус 3x минус косинус 3x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log _2 левая круглая скобка синус 3x правая круглая скобка в кубе =\log _2 левая круглая скобка синус 3x минус косинус 3x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно синус в кубе 3x минус синус 3x плюс косинус 3x=0 равносильно синус 3x умножить на левая круглая скобка синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс косинус 3x=0 равносильно минус синус 3x умножить на косинус в квадрате 3x плюс косинус 3x=0$ $равносильно синус в кубе 3x минус синус 3x плюс косинус 3x=0 равносильно$
$равносильно синус 3x умножить на левая круглая скобка синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс косинус 3x=0 равносильно минус синус 3x умножить на косинус в квадрате 3x плюс косинус 3x=0$ $равносильно синус в кубе 3x минус синус 3x плюс косинус 3x=0 равносильно$
$равносильно синус 3x умножить на левая круглая скобка синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка плюс косинус 3x=0 равносильно$
$равносильно минус синус 3x умножить на косинус в квадрате 3x плюс косинус 3x=0$

$равносильно косинус 3x левая круглая скобка 1 минус синус 3x умножить на косинус 3x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка косинус 3x=0 , новая строка синус 3x умножить на косинус 3x=1 конец совокупности .$   $равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка косинус 3x=0 , новая строка 2 синус 3x умножить на косинус 3x=2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус 3x=0 , новая строка синус 6x=2 конец совокупности . равносильно косинус 3x=0.$

С учетом того, что $синус 3x больше 0:3x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$

Б)  Заметим, что отрезок $левая квадратная скобка 0,5;4,5 правая квадратная скобка$ охватывает первых три координатных четверти, причем первую и третью четверти частично.

При $n=0$ получим $x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби больше дробь: числитель: 3,12, знаменатель: 6 конец дроби =0,52 больше 0,5.$

При $n=1$ получим $x_2= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби больше дробь: числитель: 5 умножить на 3,12, знаменатель: 6 конец дроби =2,6 больше 0,5, x_2= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 умножить на 3,15, знаменатель: 6 конец дроби =2,625 меньше 4,5.$

При $n=2$ получим $x= дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби больше дробь: числитель: 3 умножить на 3,12, знаменатель: 2 конец дроби =4,68 больше 4,5.$

То есть число $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ к числу искомых не относится. Дальнейшие поиски корней смысла не имеют.

Ответ: А) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ Б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511890

А) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ Б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511890	А) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи n, знаменатель: 3 конец дроби ,n принадлежит Z .$ Б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$