PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы. 
или 
при этом 
Изобразим множество точек с подходящими координатами на координатной плоскости. Получим горизонтальный луч с началом в точке 
и дугу окружности 
при Концы этой дуги — точки 
дуга пересекает луч в точке 
Второе уравнение запишем в виде 
откуда ясно, что оно задает прямую с угловым коэффициентом a и проходящую через точку 
Очевидно при
эта прямая не пересекает множество, задаваемое первым уравнением. Будем теперь уменьшать a, при этом прямая будет поворачиваться вокруг точки
При 
прямая 
касается окружности и параллельна лучу. Одно решение.
При 
прямая пересекает дугу в двух точках и луч в одной. Три решения.
При 
прямая пересекает дугу в одной точке и луч в одной. Два решения.
При 
прямая проходит через точку пересечения дуги и луча. Одно решение.
При 
прямая пересекает дугу в одной точке и луч в одной. Два решения.
При 
прямая пересекает дугу в одной точке. Одно решение.
При 
нет решений
(Критические значения определяются из условий прохождения прямой через важные точки — концы дуги и луча, точку их пересечения. Другие из условия касания прямой и окружности, например так — расстояние от начала координат до прямой 
должно быть равно двум, откуда 
Корни этого уравнения 
и 
дающие оба положения касательной, но при точка касания принадлежит дуге, а при абсцисса точки касания меньше −1.)
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |