PDF-версии: 
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором CB = CA = 5, BA = 6. Высота призмы равна 10. Точка M — середина ребра AA1.
А) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MBC1 и ABC.
Б) Вычислите угол между плоскостями MBC1 и ABC.
Решение. Решение 1.
А) Построим последовательно: Прямую C1M. Прямую CA, F — точка пересечения C1M и CA. Прямую BF — искомая прямая. Прямая BF — общая прямая плоскостей MBC1 и ABC по способу построения.
Б) Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.
Пусть в треугольнике ABC D — середина AB. Тогда: 
Укажем координаты нужных точек: D(0;0;0), M(0;3;5), C1(4;0;10), B(0;−3;0).
Ясно, что уравнение плоскости ABC: z = 0.
Найдем уравнение плоскости MBC1.
Уравнение плоскости MBC1 имеет вид: 
или 
Если φ — искомый угол, то:
Ответ: Б) 
Решение 2.
а) Проведем в грани 
прямую 
и отметим ее точку пересечения с прямой AB (назовем ее K). Очевидно, BK — искомая прямая.
б) Поскольку в треугольнике 
отрезок MA параллелен 
и равен его половине, то он — cредняя линия треугольника, поэтому 
Если провести высоту CH в треугольнике ABC, то 
откуда 
Тогда
Далее 
и по теореме косинусов для треугольника BAK получаем 
Опустим высоту AT на сторону BK. Заметим, что AT — проекция MT на плоскость ABC, поэтому 
Значит, 
— линейный угол искомого двугранного угла. Поскольку 
имеем 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |