Задания

Задание 14 № 511492

Сторона правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Высота этой призмы равна 6.

а) Докажите, что плоскость, содержащая прямую $\text{[math]}$ и параллельная прямой $\text{[math]}$ , делит пополам ребро $\text{[math]}$ .

б) Найти угол между прямыми CA₁ и AB₁.

Решение.

Рассмотрим призму в основании которой лежит ромб ABDC. Эта призма является прямым параллелепипедом. Поэтому $\text{[math]}$

а) Таким образом, плоскость $\text{[math]}$ . Эта плоскость пересекает плоскость $\text{[math]}$ по прямой $\text{[math]}$ . Диагонали ромба $\text{[math]}$ делятся точкой пересечения пополам, а это то, что и требовалось доказать.

б) Искомый угол это угол $\text{[math]}$ Из прямоугольного треугольника $\text{[math]}$ по теореме Пифагора находим: $\text{[math]}$ Аналогично, $\text{[math]}$ В равнобедренном треугольнике $\text{[math]}$ имеем $\text{[math]}$ значит, сторона $\text{[math]}$ Тогда, в равнобедренном треугольнике $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Ответ: $\text{[math]}$

Прототип задания

Ключ