РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 511476 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Построения в пространстве, Прямая призма, Сечение  — параллелограмм, Сечение  — треугольник, Сечение, проходящее через три точки, Угол между плоскостями

Стереометрическая задача. Угол между плоскостями граней многогранника

Дана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Основание призмы  — ромб со стороной 4 и острым углом 45°. Высота призмы равна 3.

а)  Докажите, что площадь боковой поверхности призмы составляет более двух третей площади полной поверхности призмы.

б)  Найдите угол между плоскостью AC₁B и плоскостью ABD.

Решение. а)  Найдем отношение площади боковой поверхности к площади полной поверхности:

$дробь: числитель: S_бп, знаменатель: S_пп конец дроби = дробь: числитель: 4 умножить на 4 умножить на 3, знаменатель: 4 умножить на 4 умножить на 3 плюс 2 умножить на 4 умножить на 4 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 3 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 3 плюс 1,5 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Что и требовалось доказать.

б)  Построим сечение призмы плоскостью AC₁B. Получим параллелограмм ABC₁D₁. Из точки D проведём перпендикуляр DH к прямой AB. Тогда по теореме о трех перпендикулярах D₁H ⊥ AB. Плоский угол DHD₁  — искомый, тогда $DH=AD умножить на синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Следовательно,

$тангенс \angle DHD_1 = дробь: числитель: DD_1, знаменатель: DH конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: б) $арктангенс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

511476

б) $арктангенс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511476	б) $арктангенс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$