Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му 5k − 5l + 0 · m  =  −4(k + l + m).

а)  За­ме­тим, что в левой части при­ведённого выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 5, по­это­му k + l + m  — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 5. По усло­вию 40 < k + l + m < 48, по­это­му k + l + m  =  45. Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 45 чисел.

б)  При­ведём ра­вен­ство 5k − 5l  =  −4(k + l + m) к виду l  =  9k + 4m. Так как m ≥ 0, по­лу­ча­ем, что l ≥ 9k, от­ку­да l > k. Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в)  Под­ста­вим k + l + m  =  45 в пра­вую часть ра­вен­ства 5k − 5l  =  −4(k + l + m), от­ку­да k  =  l − 36 . Так как k + l ≤ 45, по­лу­ча­ем: 2l − 36 ≤ 45, 2l ≤ 81, l ≤ 40, k  =  l − 36 ≤ 4, то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 4.

в)  При­ведём при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 4. Пусть на доске 4 раза на­пи­са­но число 5, 40 раз на­пи­са­но число −5 и один раз на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) 45; б) от­ри­ца­тель­ных; в) 4.