Ре­ше­ние. а)  Пусть MH  — вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной M, тогда тре­уголь­ник AMH пря­мо­уголь­ный, от­ку­да

Тре­уголь­ник ABH рав­но­сто­рон­ний, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

В пра­виль­ном тре­уголь­ни­ке AHB вы­со­та

Тогда ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды равен А пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды есть пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды умно­жить на ко­си­нус дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. От­сю­да и сле­ду­ет тре­бу­е­мое.

б)  Центр O сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани AMB лежит на от­рез­ке Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы. Пло­щадь сферы

Ответ: