Окружность радиуса 
вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 16. Найдите MN.
Решение. Пусть 
— центр окружности радиуса 
— второй окружности, A — вершина прямого угла, тогда
Возможны два случая. Первый случай: точка 
лежит между точками A и 
(рис. 1), тогда 
откуда радиус второй окружности 
В треугольнике 
имеем: 
Поскольку общая хорда MN окружностей перпендикулярна линии центров 
и делится ею пополам, высота MN треугольника 
равна половине 
Полупериметр треугольника равен 
тогда для площади треугольника имеем:
откуда 
Второй случай: точка лежит между точками A и (рис. 2), тогда 
откуда радиус второй окружности 
В треугольнике имеем 
Аналогично первому случаю, высота MN треугольника равна половине
В треугольнике полупериметр:
откуда 
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены всевозможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ. | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины. | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или или