PDF-версии: 
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 6. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA12 : 1.
а) Докажите, что точки A и 
равноудалены от плоскости BED1.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.
Решение. а) Четырехугольник ABC1D1 — параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому прямая AC1 пересекает плоскость BED1 в точке O, середине отрезка BD1. Пусть точки HA и HC — проекции, соответственно, точек A и C1 на плоскость BED1. Тогда треугольники HAAO и HCC1O равны по гипотенузе и острому углу, значит,
Что и требовалось доказать.
б) Прямая D1E пересекает прямую AD в точке K. Плоскости ABC и 
пересекаются по прямой KB. Из точки E опустим перпендикуляр EH на прямую KB, тогда отрезок AH (проекция EH) перпендикулярен прямой KB по теореме о трех перпендикулярах. Угол EHA является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями ABC и BED1.
Поскольку AE : EA1 = 2 : 1, получаем:
Из подобия треугольников A1D1E и AKE находим:
В прямоугольном треугольнике AKB имеем AB = 2, AK = 4 и
откуда высота
Из прямоугольного треугольника AHE с прямым углом A получаем:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |