PDF-версии: 
Точка E — середина ребра 
куба 
со стороной равной 1.
а) Докажите, что 
б) Найдите угол между прямыми BE и 
Решение. а) Проекция прямой
на плоскость ABCD − прямая 
как диагонали квадрата. Значит, по теореме о трех перпендикулярах 
б)
Проведём через точку 
прямую, параллельную 
Она пересекает продолжение ребра 
в точке F, причём 
Искомый угол равен углу 
(или смежному с ним).
В прямоугольном треугольнике 
с прямым углом 
имеем:
В прямоугольном треугольнике DCF с прямым углом C имеем:
В треугольнике 
по теореме косинусов получаем:
откуда 
а тогда 
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Адама Арутюнова.
Введем систему координат с началом в точке B так, чтобы направление оси Ox совпадало с направлением вектора 
направление оси Oy — с направлением вектора 
и направление оси Oz — с направлением вектора 
Тогда 
Найдем координаты векторов: 
и 
Косинус угла между векторами:
Тогда искомый угол между прямыми BE и 
равен
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |