PDF-версии: 
Точка O — центр правильного шестиугольника 
со стороной 
Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников 
и 
Решение. Заметим, что
поэтому вершина C — центр окружности, описанной около треугольника 
Аналогично, точки A и E — центры окружностей, описанных около треугольников BOF и DOF соответственно.
Возможны два случая: либо искомая окружность касается всех трех данных внутренним образом (рис. 1), либо одной из данных — внутренним образом, а двух других — внешним (рис. 2).
Рассмотрим первый случай. Продолжим отрезки 
и OE за точки 
и E до пересечения с соответствующими окружностями в точках 
Тогда 
— диаметры данных окружностей. Окружность S, проходящая через точки 
и 
касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника BOF, так как расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов. Аналогично, окружность S касается остальных двух окружностей.
Рассмотрим второй случай. Пусть Q — центр окружности радиуса x, касающейся внутренним образом описанной окружности треугольника BOD и внешним образом — описанных окружностей треугольников BOF и 
Пусть M — основание перпендикуляра, опущенного из центра A описанной окружности треугольника BOF на хорду 
Тогда AM — высота равностороннего треугольника AOF, поэтому 
Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
По теореме Пифагора 
или
Ответ: 28, 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует пи одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |