РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 511324 Добавить в вариант

Классификатор стереометрии: Прямая призма, Сечение  — параллелограмм, Сечение, проходящее через три точки, Угол между прямой и плоскостью

Стереометрическая задача. Угол между прямой и плоскостью

Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC,AB=AC=13,BC=24.$ Высота призмы равна 5.

а)  Докажите, что сечение призмы плоскостью, содержащей ребро $AA_1$ и перпендикулярной плоскости $BCC_1,$ является квадратом.

б)  Найдите угол между прямой $A_1B$ и плоскостью $BCC_1.$

Решение. а)  Пусть $A_1M$   — высота и медиана равнобедренного треугольника $A_1B_1C_1.$ Так как $B_1M=12,$ $BB_1=5,$ имеем: $BM=13,$ $A_1M= корень из: начало аргумента: A_1 конец аргумента B_1 в квадрате минус B_1M в квадрате =5.$ Плоскость $AA_1M$ содержит прямую $A_1M\perp BCC_1,$ поэтому эта плоскость искомая. $A_1M=AA_1,$ поэтому сечение  — квадрат.

б)  Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ прямая, то высота $A_1M$ треугольника $A_1B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $BCC_1.$ Поэтому прямая BM  — проекция прямой $A_1B$ на плоскость $BCC_1.$ Значит, искомый угол равен углу $A_1BM.$

Так как $B_1M=12,$ $BB_1=5,$ имеем: $BM=13,$ $A_1M= корень из: начало аргумента: A_1 конец аргумента B_1 в квадрате минус B_1M в квадрате =5.$

Отсюда $тангенс \angle A_1BM= дробь: числитель: A_1M, знаменатель: BM конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$ Следовательно, $\angle A_1BM= арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: $арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

511324

$арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511324	$арктангенс дробь: числитель: 5, знаменатель: 13 конец дроби .$