РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 18 № 511310 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Системы уравнений, Уравнение с модулем

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Задача с параметром. Использование симметрий

При каких значениях параметра а система $система выражений новая строка корень из: начало аргумента: |y плюс 3| конец аргумента =1 минус корень из: начало аргумента: 5|x| конец аргумента , новая строка минус 4a минус 9 минус 6y=25x в квадрате плюс y в квадрате конец системы .$ имеет четыре решения?

Решение. Полагая $u= корень из: начало аргумента: 5|x| конец аргумента ,$ $v = корень из: начало аргумента: |y плюс 3| конец аргумента ,$ перепишем систему в виде

$система выражений новая строка u плюс v =1, новая строка u в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс v в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = минус 4a. конец системы .$

Заметим, теперь что если пара $левая круглая скобка u_0, v _0 правая круглая скобка$ является решением системы, то и пара $левая круглая скобка v _0, u_0 правая круглая скобка$   — также решение этой системы. Следовательно, если $левая круглая скобка u_0, v _0 правая круглая скобка$   — решение системы такое, что $u_0 не равно v _0$ и $u_0 больше 0, v _0 больше 0,$ то система будет иметь восемь решений.

Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях: $u= v ,u=0$ или $v =0.$

А тогда, если $u= v ,$ то $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби .$ Если же $u=0$ или $v =0,$ то $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

511310

$a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Системы уравнений, Уравнение с модулем

Методы алгебры: Введение замены

Методы геометрии: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511310	$a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 32 конец дроби ,a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$