Ре­ше­ние. Обо­зна­чим дан­ный тре­уголь­ник ABC,   — ос­но­ва­ние, За­ме­тим, что окруж­ность, о ко­то­рой го­во­рит­ся в усло­вии,  — окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник Пусть O  — её центр, а E  — точка ка­са­ния с ос­но­ва­ни­ем

Обо­зна­чим

Так как BO  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка ABE, то сле­до­ва­тель­но,

Пер­вый слу­чай. Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M, а AC в точке N (рис. 1). Тогда

В тре­уголь­ни­ке AMN, имеем

У опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Вто­рой слу­чай.Пусть пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB, ка­са­ет­ся окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ет AB в точке M, а BC в точке N (рис. 2). В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BMN имеем

У опи­сан­но­го четырёхуголь­ни­ка ACNM суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны:

от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: или