PDF-версии: 
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны 2.
а) Докажите, что противоположные боковые ребра этой пирамиды взаимно перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка
Решение. а) Рассмотрим, например, пару ребер PA и PC. Основание правильной пирамиды
− квадрат, поэтому 
Заметим, что
поэтому 
б) Пусть отрезок
Поскольку 
и 
откуда 
Но, 
следовательно, 
Таким образом, прямая 
Медиана равностороннего треугольника 
и, следовательно, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |