PDF-версии: 
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых любой корень уравнения
Решение. Исследуем функции 
и 
и на отрезке 
Функция f всюду определена, непрерывна и убывает на всей области определения как сумма убывающих функций, в том числе и на промежутке 
Следовательно, принимает наибольшее и наименьшее значения на отрезке 
на концах отрезка:
а также все промежуточные значения из отрезка 
Область определения функции задается неравенством 
откуда 
Потому эта функция определена на отрезке 
непрерывна и возрастает на нем, принимая свои наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка:
В силу разной монотонности рассматриваемых функций, уравнение 
имеет не больше одного корня. Этот корень лежит на отрезке 
тогда и только тогда, когда одновременно
Решая неравенства 
и 
одновременно, получаем 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |