PDF-версии: 
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.
а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.
б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.
Решение. а) Доплнительные построения и обозначения:
О — центр вписанной окружности; O1 — середина отрезка AB; MN — отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции; ОМ, ОN радиусы вписанной окружности; E — проекции С на АD; K — точка касания первой окружности стороны трапеции CD.
Рассмотрим Δ OMC и Δ ONH. Они прямоугольные, у них: ОМ = ОN как радиусы одной и той же окружности, ∠MOC = ∠NOH как вертикальные. Значит, Δ OMC = Δ ONH, откуда MC = NH.
Имеем: D = KC + KD, DH = DN + NH. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной и той же точки: DN = KD. Прибавим к левой и правой частям этого равенства равные отрезки NH и МС соответственно. Получим верное равенство: DN + NH = KD + MC. В правой части слагаемое МС заменим равным KC. Тогда будем иметь: DN + NH = KD + KC, а это значит, что DH = DC, что и требовалось доказать.
б) В четырехугольник можно вписать окружность только в том случае, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Следовательно, 2AB = AD + BC, т. е. AD + BC = 2 · 2 · 6,5 = 26.
BH ⊥ AD, так как ∠ AHB = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр второй окружности. CE ⊥ AD по построению, значит, BH||CE. Кроме того, BC||AD по определению трапеции, следовательно, HBCE — прямоугольник, BC = HE, BH = CE.
В прямоугольном треугольнике AHB
Значит, 
откуда 
Ответ: 8 и 18.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |