PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Решение. Первое уравнение системы задаёт множество точек (x; y), сумма расстояний от которых до точек с координатами A(4; 0) и B(4; 4) равна 4. Так как расстояние между указанными точками в точности 4, то это уравнение задаёт отрезок AB.
Второе уравнение системы задаёт окружность радиуса 2, центр которой (a; a) лежит на прямой y = x. При увеличении a окружность перемещается вправо-вверх вдоль этой прямой.
При a < 2 окружность лежит левее отрезка и не имеет с ним общих точек. Значит, система не имеет решений.
При a = 2 окружность касается отрезка и, следовательно, имеет с ним одну общую точку.
Найдём значения параметра a, при которых точка B лежит на рассматриваемой окружности, подставив её координаты в уравнение окружности:
Ясно, что при меньшем из этих значений B лежит на верхней полуокружности, а при большем — на нижней.
Таким образом, при 
система имеет два решения, при 
система имеет одно решение, при 
система не имеет решений.
Ответ: 
Приведём другое решение.
Первое уравнение системы задает множество точек плоскости (х; у) сумма расстояний от которых до точек (4; 0), (4; 4), лежащих на прямой x = 4, равна 4. Следовательно, это уравнение фактически задает отрезок [0; 4], лежащий на прямой x = 4. Этот же отрезок можно задать системой: 
Требуется найти все значения параметра а, при каждом из которых система 
имеет ровно одно решение.
Подставим значение x = 4 в третье условие последней системы. Получим:
(*)
Далее найдем значения а, при которых последнее уравнение на [0; 4] имеет ровно один корень.
Нас устроят следующие ситуации (см. также рисунок):
1) Уравнение имеет два корня, один из которых принадлежит интервалу (0; 4), другой лежит вне отрезка [0; 4].
2) Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0 или 4, другой лежит вне отрезка [0; 4].
3) Уравнение имеет единственный корень, который принадлежит интервалу (0; 4).
Рассмотрим функцию 
Первая ситуация возможна тогда и только тогда, когда будет выполнено неравенство:
Докажем это.
Пусть уравнение (*) имеет два различных корня 
и 
причем 
Функция 
меняет знак только в точках и 
Но отрезку [0; 4] принадлежит только точка
которая является внутренней точкой этого отрезка, следовательно, на концах отрезка знаки функции обязаны быть разными. Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть выполняется неравенство 
при любом значении 
так как 
А это значит, что ни при каком значении а не может быть выполнено равенство 
Неравенство 
свидетельствует о существовании двух различных корней у уравнения (*). Причем лишь один из них обязательно лежит на интервале (0; 4). Если это было бы не так, то значения функций в точках 0 и 4 имели бы одинаковый знак. Кроме того, второй корень не может совпадать с 4 (совпадение с 0, как показано выше, вообще невозможно), так как в противном случае было бы верным равенство 
Итак, решим неравенство
Рассмотрим вторую ситуацию.
Пусть y = 4. Тогда: 
Вычислим значение у при каждом из полученных значений а.
Если 
то 
Заметим, что оба корня принадлежат отрезку [0; 4]. Следовательно, значение 
искомым не является.
Если же 
то 
Но 
При значении 
рассматриваемое уравнение на [0; 4] имеет ровно один корень, значит, следует отнести к числу искомых.
Теперь рассмотрим третью ситуацию. Потребуем, чтобы четверть дискриминанта уравнения (*) была равна нулю.
При 
При 
Следовательно, при данной ситуации искомое значение а равно 2.
Объединив полученные результаты, будем иметь: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |