PDF-версии: 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ABK является трапецией.
б) Найдите угол, который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если известно, что PK : KC = 3 : 1.
Решение.
А) Строим последовательно:
1. Отрезок ВК.
2. Отрезок KF, F ∈ PD, KF || DC.
3. Отрезок AF. AFKB — искомое сечение.
Положение точек А, В и К задано условием задачи. Нам следует доказать:
1) F ∈ (ABK); 2) AFKB — трапеция. Докажем.
1) Из условия: DC || AB, по построению: KF || DC. Следовательно, KF || AB по свойству транзитивности отношения параллельности. Так как через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость, то F ∈ (ABK).
2) Для доказательства того, что AFKB — трапеция, достаточно убедиться, что AF и KB не параллельны. Предположим, что AF || KB, тогда AFKB — параллелограмм, откуда: FK = AB, следовательно, FK = CD, чего быть не может, так как по смыслу задачи FK < CD. Значит, предположение AF || KB неверно.
Б) Геометрический способ решения.
Для определенности примем 4 за длину ребер пирамиды. Пусть О — точка пересечения диагоналей основания, Q — середина CD, H — середина АВ, Е — середина KF, М — точка пересечения РО и E, тогда: 
В 
по теореме Менелая: 
Итак, PM = 6OM. А это значит, что 
Докажем, что 
искомый угол.
AB прямая, по которой пересекаются плоскости АВК и АВС, PO ⊥ (ABC), M — наклонная, O — проекция наклонной. O ⊥ AB, следовательно, MH ⊥ AB. 
Координатно-векторный способ решения.
Поместим заданную пирамиду в декартову систему координат, как показано на рисунке. Для определенности примем за длину ребер пирамиды 4. Пусть О — точка пересечения диагоналей основания пирамиды, Q — середина CD, F — середина АВ, Е — середина KF, М — точка пересечения РО и F, тогда : 
аппликата точки К будет равна 
т. е. 
Найдем координаты нужных точек: 
Будем искать уравнение плоскости АВК при d = 2, для чего будем решать систему уравнений:
Итак, уравнение плоскости АВК имеет вид: 
или 
Нормальный вектор этой плоскости 
Уравнение плоскости основания пирамиды: z = 0, нормальный вектор которой 
Искомый угол — угол между векторами 
и 
Ответ: Б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |