РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 511256 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 127

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $7 в степени левая круглая скобка ax в квадрате минус 2x правая круглая скобка минус 7 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка = корень 7 степени из: начало аргумента: 2x минус ax в квадрате конец аргумента минус корень 7 степени из: начало аргумента: 1 минус x в квадрате конец аргумента$ имеет ровно два различных действительных корня.

Решение. Последовательно получаем:

$7 в степени левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате минус 2x минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1= корень 7 степени из: начало аргумента: 2x минус ax конец аргумента в квадрате минус корень 7 степени из: начало аргумента: 1 минус x конец аргумента в квадрате равносильно 7 в степени левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате минус 2x плюс корень 7 степени из: начало аргумента: ax конец аргумента в квадрате минус 2x=7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 плюс корень 7 степени из: начало аргумента: x конец аргумента в квадрате минус 1.$ $7 в степени левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате минус 2x минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1= корень 7 степени из: начало аргумента: 2x минус ax конец аргумента в квадрате минус корень 7 степени из: начало аргумента: 1 минус x конец аргумента в квадрате равносильно$
$равносильно 7 в степени левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате минус 2x плюс корень 7 степени из: начало аргумента: ax конец аргумента в квадрате минус 2x=7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате минус 1 плюс корень 7 степени из: начало аргумента: x конец аргумента в квадрате минус 1.$

Рассмотрим функцию $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =7 в степени левая круглая скобка t правая круглая скобка плюс корень 7 степени из: начало аргумента: t конец аргумента .$ Функция непрерывная, монотонно возрастающая как сумма двух возрастающих функций. Мы имеем: $f левая круглая скобка t_1 правая круглая скобка =f левая круглая скобка t_2 правая круглая скобка ,$ следовательно, должно выполняться условие: $t_1=t_2.$ Отсюда:

$ax в квадрате минус 2x=x в квадрате минус 1 равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 1=0.$

Чтобы последнее уравнение имело два различных действительных корня необходимо и достаточно выполнение двух условий: $a минус 1 не равно 0,$ $дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби больше 0.$

Решим систему неравенств $система выражений новая строка a не равно 1 , новая строка 1 минус a плюс 1 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка a не равно 1 , новая строка a меньше 2 . конец системы .$

Итак, искомые значения параметра: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

511256

$левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 127

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511256	$левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$