РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511253 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 127

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \leqslant0$

Решение. Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка x не равно 1 , новая строка x меньше 2 конец системы . равносильно система выражений новая строка 0 меньше x меньше 2 , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка x не равно 1 . конец системы .$

Далее неравенство будем решать методом рационализации и будем его рассматривать только на множестве $M = левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

$\log _2x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на \log _x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно система выражений новая строка x принадлежит M , новая строка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x принадлежит M , новая строка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 . конец системы .$ $\log _2x левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка умножить на \log _x левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x принадлежит M , новая строка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x принадлежит M , новая строка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 . конец системы .$

На M: x + 3 > 0, (x − 1)² > 0. Следовательно,

$система выражений новая строка x принадлежит M , новая строка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0 конец системы .$   $равносильно$   $система выражений новая строка x принадлежит M , новая строка x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .$

Окончательно: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше 1;$ $1 меньше x меньше 2$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511253

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 127

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511253	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$