PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно одно решение.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы так:
Прямая 
делит координатную плоскость на две области (полуплоскости).
Неравенством 
задается та полуплоскость, которая не содержит точку (0; 0), поскольку неравенство 
неверно. Эту полуплоскость обозначим Q.
Прямая 
т. е. граница полуплоскости Q, не включается в множество точек плоскости, задаваемых первом уравнением исходной системы.
Таким образом, первое уравнение системы задает часть окружности с центром в точке (−4; 3) и радиусом, равным 2, т. е. дугу ACB с выколотыми точками A и B. И это множество точек плоскости обозначим буквой ω.
Найдем координаты точек A и B.
или
Итак, A(−2; 3), B(−4;1).
Второе уравнение задает пучок прямых с угловым коэффициентом а и проходящих через точку K(1; 3) — центр пучка.
Очевидно, исходная система будет иметь ровно одно решение в том случае, если прямая 
будет иметь единственную общую точку с ω
Возможны следующие характерные ситуации:
1. Прямая при 
имеет единственную общую точку с ω. При этом уравнение 
будет иметь ровно одно решение, что будет иметь место, если дискриминант (четверть дискриминанта) уравнения при обратится в нуль.
2. Прямая проходит через точку A(−2; 3). Тогда она пересечет ω в единственной точке (−6; 3). Эта ситуация наступит при a = 0, так как прямая AK окажется параллельной оси x.
3. Прямая проходит через точку B(−4; 1). В данной ситуации прямая КВ с ω общих точек не имеет.
Найдем соответствующее значение параметра a, при котором наступает эта ситуация. Так как точка B принадлежит прямой 
то ее координаты обязаны удовлетворить уравнению этой прямой. Значит,
Таким образом, при 
исходная система несовместна.
Из графических представлений ясно, что при 
прямая имеет единственную общую точку с ω.
Заметим также , что при 
прямая и ω имеют две общие точки, т. е. при таких а заданная система будет иметь ровно два решения.
При остальных же значениях a, не рассмотренных выше, прямая и фигура ω общих точек не имеют, следовательно, при таких а исходная система решений не имеет вообще.
Окончательно получаем: условию задачи удовлетворяют элементы множества 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |