РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511232 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 124

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 9x правая круглая скобка 27 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 x конец дроби .$

Решение. Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка x больше 0 , новая строка 9x не равно 1 , новая строка \log _3x не равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби , новая строка x не равно 1 . конец системы .$

В логарифмах перейдем к основанию 3. Будем иметь: $дробь: числитель: 3, знаменатель: \log _3x плюс 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _3x конец дроби .$ Пусть $\log _3x=t,$ тогда

$дробь: числитель: 3, знаменатель: t плюс 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3t минус t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t минус 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов.

Интервалы	(−∞; −2)	(−2; 0)	(0; 1)	(1; +∞)
Знак рационального выражения	−	+	−	+

Итак, будем иметь: $совокупность выражений новая строка t меньше минус 2 , новая строка 0 меньше t меньше или равно 1 . конец совокупности .$ Теперь перейдем к переменной x.

$\log _3x меньше минус 2 равносильно 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби ;$

$0 меньше \log _3x меньше или равно 1 равносильно \log _31 меньше \log _3x меньше или равно \log _33 равносильно 1 меньше x меньше или равно 3.$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511232

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 124

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511232	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая квадратная скобка .$