PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно один корень.
Решение. Преобразуем исходное уравнение так:
Заданное уравнение будет иметь ровно один корень, если:
а) Дискриминант уравнения 
* равен нулю и при этом 
б) Дискриминант уравнения (*) больше нуля, и при этом один из корней этого уравнения равен — 
Найдем дискриминант D уравнения (*).
Далее:
а)
Проверим пригодность полученных значений а.
При 
будем иметь: 
Однако, это уравнение решений не имеет, значит, 0 не относится к числу искомых значений параметра.
При 
Итак, 3 — искомое значение параметра.
2) Неравенству 
удовлетворяют все значения а, за исключением 0 и 3. То есть уравнение (*) имеет два различных действительных корня при всех значениях а, отличных 0 и 3. Но нас интересует такое значение а, при котором один из корней упомянутого уравнения равен — a. Обозначим его x1. Другой же корень пусть будет x2, причем x1 ≠ x2. Тогда в соответствии с теоремой Виета:
т. е.
Как было показано выше, значение a = 0 не подходит. Подходящим значением а является число 1. Убедимся в этом.
При a = 1 имеем:
Итак, при a = 1 одним из корней уравнения (*) является число 1, которое также является корнем уравнения, заданного условием. А другим же корнем уравнения (*) будет 
равное −1, что не может служить корнем исходного уравнения.
Ответ: 1; 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |