PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
Решение. Из первого уравнения системы: 
(при этом: 
т.е 
). Тогда второе уравнение принимает вид: 
Преобразуя его, получим:
1. Уравнение будет иметь единственное решение, если его четверть дискриминанта будет равна нулю, т. е. будет выполнено условие:
Однако, полученное значение а нуждается в проверке выполнения условия: 
В нашем случае, когда 
Условие выполнено.
2. Система также будет иметь единственное решение, если четверть дискриминанта уравнения (*) будет положительной, но больший корень квадратного трехчлена окажется больше 1.
Введем функцию 
Необходимым и достаточным условием выполнения нашего требования является истинность неравенства 
(здесь a — старший коэффициент квадратного трехчлена, который заведомо равен 1).
Крайние точки интервала также могут быть включены в искомые, если при них выполняются требования, указанные выше. Проверим.
При 
имеем: 
(нарушается единственность решения).
При 
Один корень не больше 1, другой – больше 1. Значение a = 5 удовлетворяет требованиям, упомянутым выше.
Искомые значения a есть элементы множества 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |