РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Петя умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное а. Вася умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное b.

а)  Может ли модуль разности чисел a и b равняться 8?

б)  Может ли модуль разности чисел a и b равняться 11?

в)  Какие значения может принимать модуль разности чисел a и b?

Решение. а)  Да, например, Петя умножил 8 на 9, получив 72, а Вася умножил 8 на 10, получив 80. Модуль разности полученных произведений равен 8.

б)  Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Петино произведение будет четным. Васино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел a и b будет четным, таким образом, он не может быть равен 11.

в)  Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Петя перемножал числа x и $x плюс 1,$ а Вася ― числа y и $y плюс 2.$ Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

$x левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =y левая круглая скобка y плюс 2 правая круглая скобка равносильно x в квадрате плюс x=y в квадрате плюс 2y равносильно x в квадрате плюс x плюс 1= левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$

Заметим, что $x меньше y плюс 1,$ так как $x в квадрате меньше левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$ С другой стороны, $y плюс 1 меньше x плюс 1,$ так как $левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =x в квадрате плюс x плюс 1 меньше левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате .$

Итак, $x меньше y плюс 1 меньше x плюс 1,$ но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться 0. Тогда он не меньше 2, так как четен.

Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Петя умножил четное число n на $n плюс 1,$ а Вася умножил n на $n плюс 2.$ Тогда модуль разности их произведений равен:

$n левая круглая скобка n плюс 2 правая круглая скобка минус n левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =n.$

ввиду того, что n ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.

Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл).	4
Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).	3
Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл).	2
Верно получен один из перечисленных результатов: ― приведен верный пример в пункте а); ― обоснованное решение пункта б); ― доказательство невозможности равенства полученных произведений в); ― доказательство того, что любое четное натуральное число является ответом на вопрос пункта в).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Ключ