PDF-версии: 
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.
а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.
Решение. Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: ∠BCO = ∠DCO = α, ∠COP = x. Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, ∠OPQ = x. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим
а из равнобедренного треугольника OPQ находим ∠POQ = π − 2x = 2α. Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.
б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD. Следовательно,
откуда BC = 3DC = 3a.
Далее, CP = DC = a, значит, BP = 2a и, следовательно, 
Откуда
следовательно 
По формуле Герона находим: 
Значит, 
Ответ: 
Приведем решение пункта б) Данила Касьяненко.
По условию 
тогда 
поскольку 
Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АС, пусть она пересечет сторону ВС в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDC, поэтому 
а 
По свойству касательных 
и 
тогда 
Из прямоугольного треугольника BQN найдем BQ:
Проведем QT перпендикулярно CB. Из прямоугольного треугольника BQN найдем QT:
Найдем площадь треугольника BQP:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |