РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В стране Дельфиния установлена следующая система подоходного налога (денежная единица Дельфинии ― золотые):

Заработок (в золотых)	Налог (в %)
1  — 100	1
101  — 400	20
Более 400	50

а)  Два брата заработали в сумме 1000 золотых. Как им выгоднее всего распределить эти деньги между собой, чтобы в семье осталось как можно больше денег после налогообложения? При дележе каждый получает целое число золотых.

б)  Как выгоднее всего распределить те же 1000 золотых между тремя братьями, при условии, что каждый также получит целое число золотых?

Решение. а)  1. Если один из братьев получит $x_1\leqslant100$ золотых, то второй получит $1000 минус x_1.$ В этом случае первый брат заплатит налог $1\%,$ а второй ― $50\%.$ Следовательно, общая сумма, которая останется у братьев после налогообложения $x_1 умножить на 0,99 плюс левая круглая скобка 1000 минус x_1 правая круглая скобка умножить на 0,5=0,49 умножить на x_1 плюс 500 меньше или равно 0,49 умножить на 100 плюс 500\leqslant549$ золотых.

2.  Если каждый из них получит более $400$ золотых, значит, они оба заплатят налог $50\%,$ и тогда в сумме у них останется $500$ золотых.

3.  Пусть один из них получит x золотых, где $100 меньше x меньше или равно 400.$ Тогда его брат получит $1000 минус x$ золотых, причем это число будет больше $400.$ Значит, первый брат заплатит налог $20\%,$ а второй ― $50\%.$ Таким образом, после налогообложения у них останется $0,8x плюс 0,5 левая круглая скобка 1000 минус x правая круглая скобка =0,3x плюс 500$ золотых. Очевидно, что чем больше x, тем больше данная сумма. Значит, следует выбрать наибольшее возможное значение x, то есть $400.$ В этом случае в семье останется $620$ золотых, что больше, чем в первом и во втором случаях.

Ответ: 400 и 600.

б)   Заметим, что чем меньше золотых отдадут братья в качестве налога, тем больше денег у них останется. Таким образом, можно решать равносильную задачу: распределить деньги между братьями так, чтобы они в сумме заплатили как можно меньше.

1.  Пусть все три брата получили от 101 до 400 золотых. В этом случае каждый из них заплатил налог 20%, а значит, они должны в сумме заплатить 200 золотых.

2.  Пусть хотя бы один из братьев получил более 400 золотых. Тогда он должен заплатить налог 50%, то есть более 200 золотых. В этом случае сумма, которую заплатят все три брата, больше 200 золотых. Таким образом, распределение, разобранное в первом случае, выгоднее.

3.  Пусть хотя бы один из братьев получил не более 100 золотых. В этом случае остальные 900 золотых нужно распределить между двумя братьями, а значит, хотя бы у одного из них окажется сумма не меньше 450 золотых. Этот случай разобран в п.2.

Следовательно, сумма, которая останется у братьев, будет наибольшей в том случае, если каждый из них получит от 101 до 400 золотых. При этом верным будет любое разбиение 1000 золотых на три слагаемых, каждое из которых лежит в указанном промежутке (в качестве примера можно выбрать числа 366, 366 и 268).

Ответ: любые три числа от 101 до 400, сумма которых равна 1000 (например, 366, 366 и 268).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены оба пункта: а) и б)	4
Верно выполнены оба пункта, однако не разобран какой-то один случай (например, случай 3 приведенного выше решения пункта б), либо не приведен хотя бы один точный ответ в пункте б)	3
Верно выполнен пункт б); либо верно выполнен пункт а), а в пункте б) получен верный ответ без обоснований	2
Верно выполнен пункт а); либо в обоих пунктах получены верные ответы без обоснований	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ