РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное число.

а)  Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б)  Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в)  Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.

Решение. а)  Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.

б)  Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна $x левая круглая скобка 1 меньше или равно x меньше или равно 50 правая круглая скобка ,$ тогда другая сторона равна $левая круглая скобка 100 минус x правая круглая скобка .$ В этом случае площадь прямоугольника равна $левая круглая скобка 100x минус x в квадрате правая круглая скобка .$ Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции $левая круглая скобка 100x минус x в квадрате правая круглая скобка$ будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при $x=1,$ а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в)  Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна $дробь: числитель: an, знаменатель: 100 конец дроби .$ Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

$a плюс дробь: числитель: an, знаменатель: 100 конец дроби =100; 100a плюс an=10000; a левая круглая скобка 100 плюс n правая круглая скобка =10000.$

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a.

Заметим, что $a меньше 50,$ так как $n больше 100.$ Следовательно, требуется найти все делители числа , меньшие 50. Так как $10000=2 в степени 4 умножить на 5 в степени 4 ,$ то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем каждый из этих сомножителей может быть в степени, не превосходящей 4.

Возможны три случая:

1)  Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т. е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2)  Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400.

3)  Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)	4
Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки	3
Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в)	2
Верно выполнен один из 2-х пунктов: а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ