PDF-версии: 
Найдите все значения а, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Преобразуем первое уравнение системы:
Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (−1; −1) радиуса 3. Преобразуем второе уравнение системы:
Эти условия задают «верхнюю» полуокружность с центром в точке (а; а) радиуса 3. Полуокружности, определяемые уравнениями системы, изображены на рисунке 1, обозначим полуокружности через F и Fa, а их центры — О и Оа.
Данная в условии система имеет единственное решение, если полуокружности F и Fa имеют единственную общую точку. Поэтому это необходимо исследовать при различных значения параметра а. Две «верхние» полуокружности одинакового радиуса либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую точку, либо совпадают.
При a = −1 полуокружности F и Fa совпадают, т. е. a = −1 не является искомым.
При a > −1, т. е. точка Оа расположена выше точки О. В этом случае полуокружности F и Fa имеют общую точку, если диаметр BC полуокружности Fa имеет общую точку с полуокружностью F. Крайнее положение диаметра BC, при котором он ещё имеет общую точку c полуокружностью F, является положение на рисунке 2, при этом точка Оа имеет координаты (2; 2), т. е. a = 2. При a > 2 полуокружности F и Fa не имеют общих точек. Таким образом, все значения 
являются искомыми.
При a < −1 полуокружность Fa может быть получена параллельным переносом полуокружности F на вектор 
где b = a + 1. Если при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
полученная полуокружность имеет общую точку с F, то это же справедливо и при параллельном переносе полуокружности F на вектор 
Поэтому искомое множество значений параметра а симметрично относительно точки a = −1, значит, искомыми значениями 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| Обосновано получен ответ, отличающийся от верного только исключением граничных точек ИЛИ Обосновано получен ответ, отличающийся от верного только включением граничной точки ИЛИ Ответ неверен вследствие одной вычислительной ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены промежутки значений a, отличающийся от верного только включением граничной точки и исключением граничных точек ИЛИ С помощью верного рассуждения получен верно только один из промежутков ИЛИ Задача сведена к полному исследованию взаимного расположения двух полуокружностей одной выпуклости и одинакового радиуса и найдено, что при а= -1 они совпадают, а дальнейшие рассуждения выполнены с арифметической ошибкой | 2 |
| С помощью верного рассуждения получен только один из промежутков, отличающийся от верного только исключением или граничных точек ИЛИ Задача сведена к полному исследованию взаимного расположения двух полуокружностей одной выпуклости и одинакового радиуса и найдено, что при а= -1 они совпадают и начаты дальнейшие рассуждения ИЛИ при аналитическом решении составлено уравнение, например, | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
